lunedì 27 febbraio 2017

Come calcolare con lo smartphone il numero di particelle dell’universo conosciuto

1 googol = 10100  ≈ 70!

Numero di particelle nell’universo conosciuto  = 1080  ≈ 59!

Vi siete mai chiesti cosa sia quel simbolo x! (la x con il punto esclamativo) che trovate nella calcolatrice del vostro smartphone quando la utilizzate nel modo esteso? Si chiama fattoriale e indica l’operazione di moltiplicazione del numero intero x per tutti i numeri interi positivi che lo precedono, fino ad uno. Ecco degli esempi:

3!  =  3.2.1  =  6     ;     5!  =  5.4.3.2.1  =  120        ;     10!  =  10.9.8.7.6.5.4.3.2.1  =  3.628.800

Il fattoriale di un numero cresce molto velocemente, tanto che il 59! già rappresenta tutte le particelle stimate nell’universo osservabile, mentre il 70! è molto vicino al googol, numero enorme, rappresentato da un 1 seguito da 100 zeri.              
Provate a calcolare 59!,  oppure  70!, con la calcolatrice del vostro smartphone…




Come valutare il numero di particelle nell’universo osservabile

Tentiamo di rispondere alla seguente domanda posta da un mio studente:
Se le notti fossero lunghissime e per prendere sonno non fosse sufficiente contare tutte le pecore del mondo, quale sarebbe il numerabile più grande esistente in natura?

Visto che ogni cosa osservabile in natura è costituita da atomi e molecole, il più grande numerabile è il numero delle particelle che li compongono: i protoni, i neutroni e gli elettroni. Escludiamo i quark perché non sono mai isolati[1]. Vediamo come calcolarne il numero usando queste semplici informazioni:

-          100   miliardi di galassie nell’universo  (valore presunto);
-          100   miliardi di stelle per galassia (valore medio presunto);
-          2.1030      kg, massa del Sole (si ipotizza le stelle abbiano mediamente una massa simile a quella del Sole);
-     1,6.10-27 kg, massa del protone (pressoché uguale a quella del neutrone e 2.000 volte più grande di quella dell’elettrone).
-            
A questo punto, per determinare il numero di protoni e neutroni nell’universo basterà considerare la massa totale e dividerla per la massa del protone (e neutrone), visto che quella dell’elettrone è trascurabile:

numero di protoni e neutroni: (100.109 x 100.109 x 2.1030 ): 1,6.10-27  = 3,2.1079

Poiché gli elettroni sono tanti quanti i protoni, dobbiamo praticamente raddoppiare questo valore (il 90% della materia dell’universo sembra essere costituita da prozio, l’isotopo dell’idrogeno con un solo protone e un solo elettrone), quindi il numero totale di particelle nell’universo, secondo la nostra stima, diventa:   2 x 3,2.1079   = 6,2.1079  ;   possiamo arrotondare a 1080 :

Il numero di particelle nell’universo osservabile  è all’incirca  1080  ≈ 59!

Cercando in rete si trova che il numero di particelle nell’universo osservabile è stimato tra 1072 e 1087. Questo significa che i nostri calcoli, fatti con grosse approssimazioni, sono abbastanza realistici.

Alla fine del calcolo un altro studente ha osservato: “Ma, invece di fare tutti questi conti, non basterebbe mettersi con calma a contare i battiti del proprio cuore che, sicuramente, ce ne sono a sufficienza per addormentarsi?”

Curiosità: persino contando tutte le particelle dell’universo conosciuto non si arriverebbe ad un miliardesimo, di miliardesimo di googol, quel numero enorme ideato da Edwar Kasner ed esprimibile con uno seguito da cento zeri.
Un googol è vicino al fattoriale di 70 (per la precisione, 70! è circa 1,198 googol)

1 googol = 10100  ≈ 70!

Googol è all’origine del nome del celebre motore di ricerca Google, la differenza nelle ultime due lettere è dovuta ad un errore di trascrizione durante la registrazione del dominio.        
                                                       
 Ruggero Da Ros, febbraio 2017



[1] ) Fra le particelle dell'universo bisognerebbe contarne anche altre, come fotoni e neutrini, che sono molte di più dei protoni e dei neutroni. Sembra che i neutrini abbiano massa, seppur piccolissima (~10-37 kg), e che nonostante questa piccolezza costituiscano una parte non trascurabile della cosiddetta materia oscura. Secondo le ultime ipotesi la materia oscura dovrebbe formare addirittura il 90% della massa dell’intero universo.